Задача 53758

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.

Подсказка

Используйте равенство отношений соответствующих высот к основаниям в подобных треугольниках.

Решение

  Пусть вершины M и N гипотенузы находятся на сторонах соответственно AC и BC треугольника ABC, а вершина прямого угла K – на основании AB. Обозначим через x высоту треугольника MNK, проведённую из вершины K. Тогда  MN = 2x.
  Высоты подобных треугольников MCN и ACB, проведённые из вершины C, относятся как основания MN и AB, то есть   ^10–x/₁₀ = ^2x/₃₀.  Следовательно,  x = 6,
MN = 2x = 12.

Ответ

12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1522