|
|
 |
Условие
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Решение
Пусть AD и BC – основания трапеции ABCD, Q – точка пересечения диагоналей.
Первый способ. Пусть P – точка пересечения боковых сторон AB и DC. По замечательному свойству трапеции прямая QP проходит через середину M основания AD. Поскольку точка Q равноудалена от сторон AP и DP угла APD, то PM – биссектриса треугольника APD. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, AP = PD. Поэтому и трапеция ABCD равнобедренная.
Второй способ. Из равенства площадей треугольников ACD и ABD следует равенство площадей треугольников DQC и AQB. Поскольку высоты этих треугольников, проведённые из вершины Q, равны, то равны и стороны AB и CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1546 |
