Задача 53792

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника.
Найдите стороны прямоугольника.

Подсказка

Одна из сторон прямоугольника отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник.

Решение

  Пусть вершины P и Q прямоугольника MPQK принадлежат сторонам соответственно  AB = 10  и  BC = 17  треугольника ABC, а вершины M и K – стороне  AC = 21.  По формуле Герона  S_ABC = = 7·3·4 = 84.
  Если BD – высота треугольника ABC, то  BD = ^2S_ABC/_AC = 8.
  Пусть  PM = x.  Тогда  PQ = 12 – x.  Из подобия треугольников PBQ и ABC следует, что их высоты BT и BD относятся, как основания PQ и AC, то есть
^8–x/₈ = ^12–x/₂₁,  откуда  x = ⁷²/₁₃.

Ответ

⁷²/₁₃,  ⁸⁴/₁₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1556