Задача 53793

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC, все стороны которого различны, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Известно, что  ∠AB – BD = a,  AC + CD = b.
Найдите AD.

Подсказка

"Распрямите" ломаные ABD и ACD и рассмотрите образовавшиеся при этом подобные треугольники.

Решение

  Отложим на луче BA отрезок BD₁, равный BD, а на продолжении отрезка AC за точку C – отрезок CD₂, равный CD. Тогда  AD₁ = a,  AD₂ = b  и треугольники D₁BD и D₂CD – равнобедренные.
  Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Тогда  ∠D₁AD = ∠DAD₂ = ^α/₂,  ∠ADD₁ = ∠BD₁D – ∠BAD = 90° – ^β/₂ – ^α/₂ = ^γ/₂,
∠DD₂A = ½ DCA = ^γ/₂.  Отсюда следует подобие треугольников AD₁D и ADD₂. Значит,  AD₁ : AD = AD : AD₂,  откуда  AD² = AD₁·AD₂ = ab.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1557