Задача 53812

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что  ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCB.
Найдите углы треугольника ABC, если известно, что  4CP = 3CQ.

Подсказка

Опустите перпендикуляры PM и QN на BC и выразите отрезки QN и NB через CQ.

Решение

  Пусть M и N – проекции точек P и Q на BC. Обозначим  CQ = 8x,  CP = 6x .  Поскольку  ∠NCQ = ∠MPC = 30°,  то  QN = 4x,  PM = 9x,  CM = 3x ,  CN = 4x ,  MN = CN – CM = x .
  Из подобия треугольников QNB и PMB находим, что   BN = ⁴/₉ BM.  Значит,  BN = ⁴/₅ MN.
  Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1576