Задача 53813

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Иррациональные уравнения ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC точки M и N находятся на боковых сторонах AB и BC соответственно.
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что  AM = 5,  AN = 2,   CM = 11,  CN = 10.

Подсказка

Опустите перпендикуляры MP и NQ на основание AC; с помощью теоремы Пифагора составьте уравнение относительно  x = AP.

Решение

  Пусть P и Q – проекции точек M и N на AC. Обозначим  AP = x.  Тогда из подобия треугольников NQC и MPA получим, что  QC = 2x.
  NC² – CQ² = AN² – AQ².  Отсюда  AQ² = 148 + 4x² – 100 = 48 + 4x².
  Аналогично  CP² = 96 + x².  Поскольку  CP – AQ = (AC – x) – (AC – 2x) = x,  то  
  Решив это уравнение, получим  x = 2.  Значит,   CP = 10,  AC = 12,  BC = 15.  По формуле Герона  

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1577