Информация о задаче

Задача 53819

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O — центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Прямая AO пересекает отрезок BC в точке M. Найдите углы и площадь треугольника ABC, если AO = 3, OM = ${\frac{27}{11}}$ .

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум друеим сторонам.

Решение

Поскольку CO — биссектриса треугольника ACM, то

$\displaystyle {\frac{CA}{CM}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{OM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{9}}$ .

Пусть AC = 11x. Тогда MC = 9x. Поскольку AM — биссектриса треугольника BAC, то ${\frac{AB}{AC}}$ = ${\frac{BM}{MC}}$ . Если AB = BC = y,

$\displaystyle {\frac{y}{11x}}$ = $\displaystyle {\frac{y - 9x}{9x}}$ , или 9y = 11y - 99x.

Отсюда находим, что y = ${\frac{99x}{2}}$ .

Если P — середина AC, то

cos $\displaystyle \angle$ BAC = cos $\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle {\frac{PC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{11x}{2}}{\frac{99x}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ .

Из треугольника ACM По теореме косинусов находим, что

AM² = CA² + CM² - 2CA^.CM cos $\displaystyle \angle$ ACB,

или

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{60}{11}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{60}{11}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{60}{11}}\right)^{2}_{}$ = (11x)² + (9x)² - 2^.11x^.9x^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ .

Из этого уравнения находим, что x² = ${\frac{20}{121}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CA^.CB^.sin $\displaystyle \angle$ ACB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.11x^. $\displaystyle {\frac{99x}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{4\sqrt{5}}{9}}$ = 121 $\displaystyle \sqrt{5}$ x² = 20 $\displaystyle \sqrt{5}$ .

Ответ

arccos ${\frac{1}{9}}$ , 20 $\sqrt{5}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1583