Задача 53822

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренную трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность радиуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок BP в такой точке Q, что  PQ = 3BQ.  Найдите углы и площадь трапеции.

Подсказка

Докажите, что BC – большее основание трапеции.

Решение

  Пусть O – центр окружности, M – точка касания со стороной AB, K – со стороной BC. Обозначим  BQ = x.  Тогда  PQ = 3x,  BP = 4x,  BM² = BP·BQ = 4x²,
BK = BM = 2x.
  По теореме Пифагора  16x² = 4x² + 4R²,  откуда  x = .  Из прямоугольного треугольника BOA находим, что  AM = ^MO²/_BM = ^R²/2x = ^3x/₂,  то есть  AM < BM.
  Поэтому BC – большее основание трапеции ABCD.  AB = AM + MB = ^3x/₂ + 2x = ^7x/₂.
  Пусть F – проекция точки B на прямую AD. Тогда  
  Поскольку трапеция ABCD – описанная и равнобедренная, то её средняя линия равна боковой стороне. Следовательно,  S_ABCD = AB·BF = 7xR = .

Ответ

± arccos ¹/₇;   .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1586