Задача 53823

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и A₁B₁C₁   (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AC : A₁C₁ = 5 : .  Вершины A₁ и B₁ расположены соответственно на сторонах AC и BC, а вершина C₁ – на продолжении стороны AB за точку B, причём  A₁B₁ ⊥ BC.  Найдите угол B.

Подсказка

Докажите, что  C₁A₁ ⊥ AC  и составьте тригонометрическое уравнение относительно угла при основании равнобедренного треугольника ABC.

Решение

  Пусть  A₁B₁ = B₁C₁ = 1,  ∠C = γ.  Тогда    ∠C₁A₁C = ∠C₁A₁B₁ + ∠B₁A₁C = γ + (90° – γ) = 90°,  A₁C = ¹/_{sin γ},  C₁A₁ = 2cos γ, 
  Поскольку  AC = AA₁ + A₁C,  то    
  Отсюда  tg γ =   или  tg γ = 3 .
  Второе решение не удовлетворяет условию: точка C₁ лежит на продолжении отрезка AB за точку B, поэтому  AB sin γ < A₁C₁,  то есть    Следовательно,  γ = 30°.

Ответ

120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1587