Задача 53845

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AC = 2,  AB = ,  BC = 1.  Вне треугольника взята точка K так, что отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B, и треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите угол AKC, если известно, что угол KAC – тупой.

Подсказка

Докажите, что  ∠AKC = ∠C.

Решение

  AC – наибольшая сторона треугольника ABC. Так как угол KAC – тупой, то  ∠KAC = ∠B.  Угол C не равен углу KCA, так как больше его. Следовательно,
∠AKC = ∠C.
  По теореме косинусов  
  Следовательно,  ∠AKC = ∠C = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1610