Задача 53851

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D, причём  AD = 3,  cos∠BDC = ¹³/₂₀,  а  ∠B + ∠ADB = 180°.
Найдите периметр треугольника ABC, если  BC = 2.

Подсказка

Треугольники ABC и BDC подобны.

Решение

  Поскольку  ∠B = 180° – ∠ADB = ∠BDC,  то треугольники ABC и BDC подобны по двум углам. Поэтому  BC : AC = DC : BC,  или   = ½ DC.  Отсюда  DC = 1,  AC = 4.  По теореме косинусов  AC² = AB² + BC² – 2AB·BC cos∠B,  или  16 = AB² + 4 – 2·2AB·¹³/₂₀.
  Отсюда находим, что  AB = 5.  Следовательно, периметр треугольника ABC равен  AC + BC + AB = 4 + 2 + 5 = 11.

Ответ

11.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1616