Задача 53866

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

M и N – середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P, Q – точка пересечения прямых PM и AC.
Докажите, что  ∠QNM = ∠MNP.

Подсказка

Проведите через центр прямоугольника прямую, параллельную стороне BC.

Решение

Пусть прямая, проходящая через центр O данного прямоугольника параллельно BC, пересекает отрезок QN в точке K. Поскольку  MO || PC,   KO || BC,  то
QM : MP = QO : OC = QK : KN.  Значит,   KM || NP.  Следовательно,  ∠MNP = ∠KMO = ∠QNM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1631