Задача 53880

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Биссектриса внешнего угла A треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC и точке M. Докажите, что   BM : MC = AB : AC.

Решение

  Через вершину B проведём прямую, параллельную AM. Пусть эта прямая пересекает сторону AC в точке P. Отметим точку Q на продолжении стороны AC за точку A. Тогда   ∠APB = ∠QAM = ∠MAB = ∠ABP,  значит, треугольник APB – равнобедренный,  PA = AB.
  Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что  BM : MC = PA : AC = AB : AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1645