Задача 53887

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD  (BC || AD).  Точки P, M, Q, N являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Докажите, что отрезки AQ, PD и MN пересекаются в одной точке.

Подсказка

Примените замечательное свойство трапеции (см. задачу 53749).

Решение

Поскольку четырёхугольник PMQN – параллелограмм (см. задачу 53475), то точка F пересечения отрезков PQ и MN – середина отрезка PQ.
В трапеции APQD точка пересечения диагоналей AQ и DP лежит на прямой, проходящей через середины F и N оснований PQ и AD (см. задачу 53749).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1652