Задача 53943

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.

Решение

Первый способ.

Пусть M — данная точка окружности с центром O, AB — данная хорда. Если AB — диаметр, то искомая хорда — также диаметр. Если AB -- хорда, не являющаяся диаметром, MN — искомая хорда, а K — её середина, то OK MN, т.е. радиус OM виден из точки K под прямым углом. Значит, середина искомой хорды MN лежит на окружности с диаметром OM.

Если окружность с диаметром OM имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.

Второй способ.

Пусть M — данная точка окружности с центром O, AB — данная хорда. При гомотетии с центром M и коэффициентом данная окружность перейдёт в окружность с диаметром OM. Если K — точка пересечения этой окружности с данным отрезком AB, то K — образ некоторой точки N данной окружности. Поэтому MK = MN, т.е. K — середина MN.

Если окружность с диаметром OM имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1707