Задача 53999

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60^o , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

Пусть окружности с центрами O и O1 и радиусами R и r ( R>r ) соответственно касаются внутренним образом в точке A , а радиусы OB и OC большей окружности касаются меньшей соответственно в точках M и N , причём BOC = 60^o .
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, AOB = 30^o , а т.к. линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то

OO1 = OA - O1A = R - r.
Из прямоугольного треугольника OO1M находим, что
OO1 = 2O1M, илиR - r = 2r,
откуда = .

Ответ

1:3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1763