|
|
 |
Условие
Даны точки A и B. С центром в точке B проводятся окружности радиусом, не превосходящим AB, а через точку A — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.
Решение
Рассмотрим произвольную окружность с центром B и радиусом, меньшим AB. Пусть прямая, проходящая через точку A, касается этой окружности в точке M. Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то отрезок AB виден из точки M под прямым углом. Значит, точка M лежит на окружности с диаметром AB.
Обратно, рассмотрим произвольную точку M, лежащую на
окружности с диаметром AB и отличную от точек A и B. Тогда
AMB = 90o, значит, прямая AM имеет общую точку M с окружностью радиуса BM
с центром B и перпендикулярна радиусу BM, проведённому в эту точку.
Следовательно, M — точка касания прямой, проходящей через точку A и
касающейся некоторой окружности с центром B.
Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно AB, касается окружности с центром B и радиусом AB.
Ответ
Окружность с диаметром AB (без точки B).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1769 |
