Задача 54033

Темы:    [ Многоугольники (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон треугольника примыкает больший из них.

Подсказка

Пусть BD — биссектриса треугольника ABC и AB > BC. Отложите на стороне AB отрезок BC₁, равный BC.

Решение

Пусть A, B и C — произвольные последовательные вершины такого многоугольника. Тогда диагональ AC — сторона треугольника ABC, лежащая против тупого угла, значит, AC > AB. Таким образом, каждой стороне многоугольника соответствует диагональ, большая этой стороны, причём, разным сторонам соответствуют разные диагонали. Тогда сумма только этих диагоналей больше периметра многоугольника.

Пусть BD — биссектриса треугольника ABC и AB > BC. Рассмотрим точку C₁, симметричную вершине C относительно биссектрисы угла B. Тогда CD = C₁D. Поскольку BC₁ = BC < AB, то точка C₁ лежит на отрезке AB, а AC₁D — внешний угол треугольника BDC₁, поэтому

AC₁D > BDC₁ = BDC > A.

Следовательно, CD = C₁D < AD.

Утверждение задачи можно легко вывести из свойства биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1796