Задача 54034

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

BD — биссектриса треугольника ABC, причём AD > CD. Докажите, что AB > BC.

Решение

Предположим, что это не так. Если AB = BC, то по свойству равнобедренного треугольника AD = CD, что противоречит условию.

Пусть AB < BC. Рассмотрим точку A₁, симметричную вершине A относительно биссектрисы угла B. Тогда AD = A₁D. Поскольку BA₁ = AB < BC, точка A₁ лежит на отрезке BC, а CA₁D — внешний угол треугольника BDA₁, поэтому

CA₁D > BDA₁ = BDA > C.

Значит, AD = A₁D < CD, что также противоречит условию. Следовательно, AB > BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1797