Задача 54035

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до точки A больше, чем расстояние до точки B.

Подсказка

Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра к отрезку и неравенством треугольника.

Решение

Серединный перпендикуляр к отрезку AB делит плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость, содержащую точку B. Докажем, что для любой точки M этой полуплоскости AM > BM. Действительно, поскольку точки A и M лежат в разных полуплоскостях с границей l, то отрезок AM пересекает прямую l в некоторой точке D. По свойству серединного перпендикуляра AD = BD, поэтому

BM < BD + DM = AD + DM = AM.

Докажем теперь, что если BM < AM, то точки B и M лежат в одной полуплоскости с границей l.

Точка M не может лежать на прямой l, т.к. в этом случае BM = AM. Если же точки B и M лежат по разные стороны от прямой l, то точки M и A лежат по одну сторону от этой прямой. В этом случае (см. первую часть доказательства) BM > AM, что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1798