Задача 54056

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Касающиеся окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Одна окружность описана около равностороннего треугольника ABC, а вторая касается прямых AB и AC и первой окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

  Пусть O и R – радиус и центр описанной окружности Ω равностороннего треугольника ABC, O₁ и r – центр окружности ω, которая касается прямых AB (в точке D) и AC, а окружности Ω в точке E.
  1) ω вписана в угол BAC. Тогда из прямоугольного треугольника AO₁D получаем, что  AO₁ = 2O₁D = 2r.
  Если окружности касаются внутренним образом (рис. слева), то  2r = AO₁ = 2R – r,  откуда  R : r = 3 : 2.
  В случае внешнего касания окружностей (рис. в центре)  2r = 2R + r,  откуда  R : r = 1 : 2.

  2) ω вписана в угол, смежный с углом A, и лежит от AB по другую сторону, чем вершина C (рис. справа). Тогда  ∠;OAO₁ = 90°  как угол между биссектрисами смежных углов,     OO₁ = R + r.
  По теореме Пифагора     R : r = 1 : 6.

Ответ

3 : 2,  1 : 2  или  1 : 6.

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1819