Задача 54064

Тема:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка A лежит на окружности. Найдите геометрическое место таких точек M, что отрезок AM делится этой окружностью пополам.

Подсказка

На продолжении диаметра AB данной окружности за точку B отложите отрезок BC, равный AB.

Решение

Пусть некоторый отрезок AM делится данной окружностью пополам. На продолжении диаметра AB данной окружности за точку B отложим отрезок BC, равный AB. Если K - середина AM, то AKB = 90^o, значит, высота BK треугольника ABM является его медианой, поэтому BM = BA = BC. Следовательно, точка M лежит на окружности с центром B и радиусом AB.

Пусть теперь точка M, отличная от A, лежит на окружности с диаметром AC, а K - отличная от A точка пересечения луча AM с данной окружностью. Тогда высота BK равнобедренного треугольника ABM является его медианой. Следовательно, K - середина отрезка AM.

Ответ

Окружность без одной точки.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1827