Задача 54094

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вершины M и N равнобедренного треугольника BMN  (BM = BN)  лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что  MN || AC.

Подсказка

Докажите равенство прямоугольных треугольников ABM и CBN.

Решение

Прямоугольные треугольники ABM и CBN равны по катету и гипотенузе, поэтому  ∠AMB = ∠CNB.  Значит,
∠DMN = 180° – ∠AMB – ∠BMN = 180° – ∠CNB – ∠BNM = ∠DNM, то есть треугольник DMN – равнобедренный, а так как он прямоугольный, то
∠DNM = 45° = ∠ACD.  Следовательно,  MN || AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1857