Задача 54110

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки N, K, L, M, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – также квадрат.

Решение 1

  При повороте относительно центра квадрата на 90° по часовой стрелке сторона AB переходит в сторону BC, а так как  AN = BK,  то точка N – в точку K. Аналогично для остальных вершин четырёхугольника KLMN.
  Таким образом, при повороте на 90° относительно точки O четырёхугольник KLMN переходит в себя. Следовательно, KLMN – квадрат.

Решение 2

  Прямоугольные треугольники AMN, BNK, CKL и DLM равны по двум катетам, поэтому  MN = NK = KL = LM.  Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. Пусть K₁ – проекция точки K на AD, а N₁ – проекция точки N на DC. Из равенства прямоугольных треугольников MK₁K и LN₁N (по двум катетам) следует равенство диагоналей MK и NL четырёхугольника KLMN. Таким образом, KLMN – ромб с равными диагоналями, то есть квадрат.

  Второй способ.   ∠KLM = 180° – ∠KLC – ∠MLD = 180° – ∠KLC – ∠LKC = 90°.  Таким образом, KLMN – ромб с углом 90, то есть квадрат.