Задача 54154

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.

Решение

Пусть M и N – середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, K и L – середины боковых сторон AB и CD. Тогда  KM || AC || LN,  ML || BD || KN,  поэтому четырёхугольник KMLN – прямоугольник (даже квадрат). Значит,  KL = MN,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1917