Задача 54217

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2.
Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой.

Подсказка

Отрезок, соединяющий точки пересечения окружностей, перпендикулярен линии центров.

Решение

  Пусть окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами соответственно r и 2r пересекаются в точках A и B, а отрезки O₁O₂ и AB – в точке K. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому треугольники AO₁K и AO₂K прямоугольные. Поскольку  AO₁ < AO₂,  то
KO₁ < KO₂.  Значит,  KO₁ = 2  и  KO₂ = 5.
  По теореме Пифагора  r² – 4 = 4r² – 25,  откуда  r² = 7,  AK² = 7 – 2² = 3.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1980