Задача 54263

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6, причём угол в 60° у них общий, а все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Стороны ромба отсекают от данного треугольника прямоугольные треугольники с острым углом 30°.

Решение

Пусть вершины N и M ромба BMKN находятся на гипотенузе AB и катете BC треугольника ABC, а вершина K – на катете AC. Поскольку KN = 6,  ∠A = 30°,  KN || BC,  то  AN = 2KN = 12.  Поэтому  AB = AN + NB = 18,  BC = ½ AB = 9,  AC = 9.

Ответ

9, 9, 18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2026