Задача 54277

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5.
Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Через вершину трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Пусть M и K – середины оснований BC и AD трапеции ABCD,  BD = 6.  Через вершину C меньшего основания BC проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке P и прямую, параллельную MK, до пересечения с прямой AD в точке Q. Тогда
AQ = ½ (AD + BC) = ½ (AD + DP) = ½ AP,  то есть CQ – медиана треугольника ACP. Так как  AC ⊥ CP,  то  AQ = QP = CQ = 4,5.  Поэтому  AP = 9,
AC² = AP² – CP² = 45.  Следовательно,  S_ABCD = S_ACP = ½ AC·CP = 9.

Ответ

9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2040