Задача 54280

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отношение оснований трапеции равно  3 : 2,  а отношение боковых сторон равно  5 : 3.  Точка пересечения биссектрис углов при большем основаниии трапеции лежит на меньшем основании. Найдите углы трапеции.

Решение

  Пусть  BC = 2x,  AD = 3x  – основания трапеции ABCD, а  AB = 3y,  CD = 5y  – её боковые стороны. Если M – точка пересечения биссектрис углов A и D, то  BM = AB = 3y,  CM = CD = 5y.
  Поэтому  x = 4y,  BC = 8y,  AD = 12y.
  Через точку C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.  CK = AB = 3y,  CD = 5y,
KD = AD – AK = AD – BC = 4y.
  Поэтому треугольник CKD – прямоугольный. Следовательно,  ∠CDK = arcsin ^CK/_KD = arcsin ³/₅,  ∠BAD = ∠CKD = 90°.

Ответ

90°,  90°,  arcsin ³/₅,  180° – arcsin ³/₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2043