Информация о задаче

Задача 54285

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Расстояния от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10, BC = 17, AC = 21.

Подсказка

Соедините данную точку M с вершинами треугольника ABC и рассмотрите площади трёх образовавшихся треугольников.

Решение

По формуле Герона

S_ABC = $\displaystyle \sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}$ = 7^.3^.4 = 84.

Пусть P и Q — проекции точки M на стороны BC и AC, а T — на сторону AB. Тогда

S_ABC = S_BMC + S_AMC + S_AMB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.MP + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.MQ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.MT =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.17^.4 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.21^.2 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.10^.MT = 34 + 21 + 5MT.

Отсюда находим, что

MT = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}-34-21}{5}}$ = $\displaystyle {\frac{84-34-21}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{29}{5}}$ .

Ответ

${\frac{29}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2048