Задача 54287

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Меньшее основание трапеции равно заданной боковой стороне.

Решение

  Пусть BC и AD – основания трапеции ABCD,  AD = 5,  AC ⊥ CD,  CD = 3,  DB – биссектриса угла ADC.
  Поскольку  ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB,  то треугольник BCD – равнобедренный,   BC = CD = 3.  Из прямоугольного треугольника ACD находим, что
AC² = 16.
  Следовательно,  S_ACD = 6,  S_ABCD = S_ACD + S_ABC = ⁸/₅ S_ACD = ⁴⁸/₅.

Ответ

9,6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2050