Задача 54299

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка K. Известно, что  AK = 1,  KC = ,  а углы AKC, ABK и KBC равны 120°, 15° и 15° соответственно. Найдите BK.

Подсказка

Пусть P и Q – проекции точки K на стороны AB и BC. Рассмотрите треугольники APK и KQC.

Решение

Пусть P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки K на стороны AB и BC соответственно. Тогда
∠AKP + ∠CKQ = 360° – ∠AKC – ∠PKQ = 360° – 120° – 150° = 90°.  Пусть  ∠PAK = α.  Тогда   ∠CKQ = 90° – ∠AKP = α;  KQ = KC cos α = cos α,
KP = AK sin α = sin α,  а так как  KQ = KP,  то  tg α = ,   α = 60°,  KP = AK sin 60° = .  Поскольку     то  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2062