Информация о задаче

Задача 54312

Темы:	[	Площадь трапеции	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB и меньшее основание BC равны 2, а BD перпендикулярно AB. Найдите площадь этой трапеции.

Подсказка

Докажите, что углы при большем основании трапеции равны 60^o.

Решение

Обозначим $\angle$ ADB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ CBD = $\displaystyle \angle$ ADB = $\displaystyle \alpha$ ,

а т.к. треугольник BCD равнобедренный, то

$\displaystyle \angle$ CDB = $\displaystyle \angle$ CBD = $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому $\angle$ ADC = 2 $\alpha$ .

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BAD = 90^o - $\displaystyle \angle$ ADB = 90^o - $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ ADC,

то 90^o - $\alpha$ = 2 $\alpha$ . Отсюда находим, что $\alpha$ = 30^o и $\angle$ BAD = 60^o.

Пусть BK — высота трапеции. Тогда

BK = AB sin 60^o = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

а т.к. AD = 2AB = 4, то

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (4 + 2)^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

3 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2075