Задача 54317

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса BE прямого угла B делится центром O вписанной окружности в отношении   BO : OE = : .
Найдите острые углы треугольника.

Решение

  Обозначим  AB = x,  BC = y.  По свойству биссектрисы треугольника  AB : AE = BO : OE = : ,  то есть  AE = .
  Аналогично  CE = .
  По теореме Пифагора  x² + y² = ²/₃ (x + y)²,  или  x² – 4xy + y² = 0.
  Следовательно,  tg∠C = ^x/_y = 2 ± .

Ответ

arctg(2 – ) = 15°,  arctg(2 + ) = 75°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2080