Задача 54318

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а  tg∠QMN = ²/₃.
Найдите диагональ NQ, если известно, что сторона LQ вдвое меньше стороны MN и на 2 больше стороны LN.

Решение

  Четырёхугольник MNLQ – прямоугольная трапеция с основаниями LQ и MN. Пусть K – проекция точки Q на MN. Обозначим  LQ = x.  Тогда
QK = LN = x – 2,  KM = x,  ^x–2/_x = ²/₃.
  Отсюда  x = 6.  Следовательно,  NQ² = NK² + QK² = 52.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2081