Информация о задаче

Задача 54322

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на сторону BC.

Решение

Пусть BC = 4x. Тогда BL = x, CL = 3x. Опустим перпендикуляр OP из центра O данной окружности на сторону BC ромба. Тогда

CP = CL + LP = 3x + $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{7x}{2}}$ .

Если $\angle$ BCD = $\alpha$ , то

OP = PCtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = PC^. $\displaystyle {\frac{OB}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{7x}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{R}{4x}}$ = $\displaystyle {\frac{7R}{8}}$ .

По теореме Пифагора

OB² = OP² + BP², или R² = $\displaystyle {\textstyle\frac{49}{64}}$ R² + $\displaystyle {\frac{x^{2}}{4}}$ .

Отсюда находим, что x = ${\frac{R\sqrt{15}}{4}}$ . Тогда

AB = 4x = R $\displaystyle \sqrt{15}$ , tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R}{4x}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{15}}}$ , sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}{1 + {\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = AB^.AD sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{15R^{2}\sqrt{15}}{8}}$ .

Ответ

${\frac{15R^{2}\sqrt{15}}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2085