Задача 54336

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей KM и LN равнобедренной трапеции KLMN касается меньшего основания LM и боковой стороны MN. Найдите периметр трапеции KLMN, если известно, что её высота равна 36, а радиус окружности равен 11.

Подсказка

Докажите, что боковая сторона трапеции равна большему основанию.

Решение

  Пусть O – точка персечения диагоналей данной трапеции, A – точка касания окружности с основанием LM, AB и LP – высоты трапеции. Тогда
AM : KB = AO : OB = 11 : 25.
  Пусть  LM = 11x,  KN = 25x.  Поскольку LN – биссектриса угла KLM, то  ∠LNK = ∠MLN = ∠NLK.
  Поэтому треугольник LKN – равнобедренный,  MN = LK = KN = 25x,  KP = ½ (KN – LM) = 7x.
  По теореме Пифагора  625x² = 49x² + 36²,  откуда  x = ³/₂.
  Следовательно, периметр трапеции равен  86x = 129.

Ответ

129.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2099