Информация о задаче

Задача 54352

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 2, проведены медианы AM и CN. Около четырёхугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Из теоремы о касательной и секущей следует, что

BA^.BN = BC^.BM, или 2BN² = 2BM².

Поэтому BN = BM и AB = BC = $\sqrt{2}$ , т.е. треугольник ABC — равнобедренный.

CN = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}+ BN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{2}}$ .

Если R — искомый радиус, то

CN = 2R sin $\displaystyle \angle$ BAC = 2R sin 45^o = R $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Отсюда находим, что

R = $\displaystyle {\frac{CN}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2115