Информация о задаче

Задача 54356

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Параллелограмм ABCD с углом $\angle$ BAD = arcsin ${\frac{1}{3}}$ и ромб BCFE с острым углом CBE расположены так, что точки E и F лежат на продолжении стороны AD за точку D. Площадь четырёхугольника DBCE составляет ${\frac{3}{4}}$ площади параллелограмма. Найдите углы ромба.

Подсказка

Применив формулу площади трапеции, докажите, что DE = ${\frac{1}{2}}$ AD.

Решение

Обозначим через h высоту параллелограмма, опущенную на сторону AD, AD = BC = BE = CF = a, DE = x. Тогда

S_DBCE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC + DE)^.h, S_ABCD = ah.

Поэтому ${\frac{(a + x)h}{2}}$ = ${\frac{3ah}{4}}$ . Отсюда находим, что x = ${\frac{a}{2}}$ . Тогда в треугольнике ABE

AE = AD + DE = $\displaystyle {\frac{3a}{2}}$ , BE = a, sin $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

По теореме синусов находим, что sin $\angle$ ABE = ${\frac{1}{2}}$ . Если

$\displaystyle \angle$ CFE = $\displaystyle \angle$ BEA = 180^o - $\displaystyle \angle$ ABE - $\displaystyle \angle$ BAE = 180^o - 150^o - arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ =

= 30^o - arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ и $\displaystyle \angle$ ABE = 150^o,

то

$\displaystyle \angle$ BEF = 180^o - $\displaystyle \angle$ CFE = 150^o + arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Если $\angle$ ABE = 30^o, то

$\displaystyle \angle$ CFE = 150^o - arcsin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ > 90^o,

что противоречит условию.

Ответ

${\frac{\pi}{6}}$ - arcsin ${\frac{1}{3}}$ ; ${\frac{5\pi}{6}}$ + arcsin ${\frac{1}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2119