Задача 54384

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружность диаметра 1 вписан четырёхугольник ABCD, у которого угол D прямой,  AB = BC.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если его периметр равен  .

Подсказка

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение

  Поскольку  ∠D = 90°,  то AC – диаметр окружности. Значит, и  ∠B = 90°.  Следовательно,  AB = BC = = ,  AD + CD = – AB – BC =
  Так как  AD² + CD² = 1,  то   2AD·CD = (AD + CD)² – (AD² + CD²) = ³²/₂₅ – 1 = ⁷/₂₅,  S_ADC = ½ AB·CD = ⁷/₁₀₀.
  Поскольку  S_ABC = ½ AB·BC = ¼,  то  S_ABCD = S_ADC + S_ABC = ⁷/₁₀₀ + ¼ = ⁸/₂₅.

Ответ

⁸/₂₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2147