Задача 54386

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На продолжении стороны AD ромба ABCD за точку D взята точка K. Прямые AC и BK пересекаются в точке Q. Известно, что  AK = 14  и что точки A, B и Q лежат на окружности радиуса 6, центр которой принадлежит отрезку AK. Найдите BK.

Подсказка

Пусть O – центр окружности. Воспользуйтесь подобием треугольников KQO и KBA.

Решение

  Пусть O – центр окружности, F – вторая точка пересечения окружности с прямой AK. Поскольку треугольник AOQ – равнобедренный  (OA = OQ = 6),  то
∠AQO = ∠OAQ = ∠BAQ.  Поэтому  OQ || AB.  Значит,  KQ : KB = KO : KA = 4 : 7,  ⁴/₇ KB² = KQ·KB = KF·KA = 28,  откуда  BK = 7.

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2149