Задача 54388

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AP. Известно, что  BP = 16,  PC = 20  и что центр описанной окружности треугольника ABP, лежит на отрезке AC. Найдите сторону AB.

Подсказка

Докажите, что  OP || AB.

Решение

  Пусть O – центр указанной окружности. Поскольку треугольник AOP – равнобедренный, то  ∠APO = ∠OAP = ∠BAP.  Поэтому  OP || AB.  По теореме Фалеса  AO = ⁴/₉ AC.
  ¹/₉ AC² = (AC – 2AO)·KB = CP·CB,  или  KQ·KB = 2·14 = 720,  откуда  
  По свойству биссектрисы  AB : AC = 16 : 20 = 4 : 5,  откуда  AB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2151