Информация о задаче

Задача 54395

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник ABC со стороной a и два ромба ACMN и ABFE расположены так, что точки M и B лежат по разные стороны от прямой AC, а точки F и C — по разные стороны от прямой AB. Найдите расстояние между центрами ромбов, если $\angle$ EAB = $\angle$ ACM = $\alpha$ ( $\alpha$ < 90^o).

Подсказка

Пусть P и Q — центры ромбов. С помощью теоремы косинусов найдите PQ из треугольника PAQ.

Решение

Пусть P и Q — центры ромбов ACMN и ABFE. Тогда

$\displaystyle \angle$ PAQ = $\displaystyle \angle$ PAC + $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ BAQ = $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ }- \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ }- \frac{\alpha}{2}}\right)$ + 60^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 150^o,

AQ = AB cos $\displaystyle \angle$ QAB = a cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , AP = AC sin $\displaystyle \angle$ PCA = a sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

По теореме косинусов из треугольника PAQ находим, что

PQ² = AQ² + AP² - 2AQ^.AP cos 150^o =

$\displaystyle \left(\vphantom{a\cos \frac{\alpha}{2}}\right.$ a cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a\cos \frac{\alpha}{2}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{a\sin \frac{\alpha}{2}}\right.$ a sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^{2}_{}$ + 2a²cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ =

= a² + a^{2 .} $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ^.sin $\displaystyle \alpha$ = a² $\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ sin $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha}\right)$ .

Ответ

a $\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\sin \alpha}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2158