Задача 54408

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Площадь трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 5, а средняя линия равна 2.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Пусть ABCD — прямоугольник, MA = 3, MB = 5, MC = 4. Поскольку

MA² + MC² = MB² + MD²,

то

MD² = MA² + MC² - MB² = 9 + 16 - 25 = 0.

Поэтому точка M совпадает с вершиной D. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 и 4, а его площадь равна 12.

Ответ

6.

Через вершину C трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке K. Тогда AK в два раза больше средней линии трапеции ABCD, а две другие стороны треугольника ACK равны диагоналям трапеции, т.е. 3 и 5.

Этот треугольник прямоугольный, т.к. AC² = AK² + CK², и его площадь равна площади трапеции ABCD. Следовательно,

S_ABCD = S_ACK = AK ^. CK = 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2172