Информация о задаче

Задача 54411

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны. Прямая, параллельная основанию AC, пересекает сторону AB в точке D, а сторону BC в точке E, причём каждый из отрезков AD, EC и DE равен 2. Точка F — середина отрезка AC, и точка G — середина отрезка EC, соединены отрезком прямой. Известно, что величина угол GFC равен $\beta$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что угол при основании данного треугольника равен 2 $\beta$ .

Решение

Поскольку FG — средняя линия треугольника AEC, то FG параллельно AE. Поэтому $\angle$ EAC = $\angle$ GFC = $\beta$ . В равнобедренном треугольнике ADE известно, что

$\displaystyle \angle$ DAE = $\displaystyle \angle$ DEA = $\displaystyle \angle$ EAC = $\displaystyle \angle$ GFC = $\displaystyle \beta$ .

Поэтому $\angle$ BCF = $\angle$ BAC = 2 $\beta$ .

Пусть K — проекция точки D на основание AC. Тогда

FK = 1, AK = AD cos $\displaystyle \angle$ BAC = 2 cos 2 $\displaystyle \beta$ ,

AF = KF + AK = 1 + 2 cos 2 $\displaystyle \beta$ .

Из прямоугольного треугольника BFC находим, что

BF = FCtg $\displaystyle \angle$ BCF = (1 + 2 cos 2 $\displaystyle \beta$ )tg2 $\displaystyle \beta$ .

Следовательно,

S_ABC = FC^.BF = (1 + 2 cos 2 $\displaystyle \beta$ )²tg2 $\displaystyle \beta$ .

Ответ

(1 + 2 cos 2 $\beta$ )²tg2 $\beta$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2175