Информация о задаче

Задача 54444

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD сторона AD является большим основанием. Известно, что AD = CD = 4 ${\frac{2}{3}}$ , $\angle$ BAD = 90^o и $\angle$ BCD = 150^o. На основании AD построен треугольник AED, причём точки B и E лежат по одну сторону от прямой AD и AE = DE. Высота этого треугольника, проведенная из вершины E, равна 1 ${\frac{2}{5}}$ . Найдите площадь общий части трапеции ABCD и треугольника AED.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ ADE > $\angle$ ADC и примените теорему синусов.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ ADC = 180^o - $\displaystyle \angle$ BCD = 30^o.

Пусть P — середина AD. Поскольку точка E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, то

tg $\displaystyle \alpha$ = tg $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle {\frac{EP}{PD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ > $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ = tg30^o = tg $\displaystyle \angle$ ADC.

Следовательно, $\angle$ ADC < $\angle$ ADE и луч DC проходит между сторонами угла ADE. Кроме того,

EP = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ = AB.

Поэтому отрезок AE пересекает сторону CD. Пусть F — точка пересечения. Тогда искомая общая часть — треугольник AFD, в котором

AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{14}{3}}$ , $\displaystyle \angle$ ADF = 30^o, $\displaystyle \angle$ DAF = $\displaystyle \alpha$ = arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Найдём сторону DF по теореме синусов:

DF = $\displaystyle {\frac{AD\sin \alpha}{\sin (30^{\circ}+ \alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{14\sin \alpha}{3(\sin \alpha \cos 30^{\circ}+ \cos \alpha \sin 30^{\circ})}}$ =

= $\displaystyle {\frac{14}{3(\cos 30^{\circ} + {\rm ctg }\alpha \sin 30^{\circ})}}$ = $\displaystyle {\frac{28}{3\sqrt{3} + 5}}$ .

Следовательно,

S_AFD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DF sin 30^o = $\displaystyle {\frac{49(3\sqrt{3} - 5)}{3}}$ .

Ответ

${\frac{49(3\sqrt{3} - 5)}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2208