Задача 54456

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На биссектрисе острого угла AOC взята точка B. Через точку B проведена прямая, перпендикулярная к OB и пересекающая сторону AO в точке K, а сторону OC – в точке L. Через точку B проведена еще одна прямая, пересекающая сторону AO в точке M (M – между O и K), сторону OC — в точке N, причём так, что  ∠MON = ∠MNO.  Известно, что  MK = a,  LN = ^3a/₂.  Найдите площадь треугольника MON.

Решение

  Рассмотрим точку P, симметричную N относительно прямой OB. Эта точка лежит на прямой OM, и  KP = LN.  Кроме того,  ∠KBP = ∠LBN = ∠KBM,  то есть BK – биссектриса угла MBP. Значит,  2 : 3 = MK : LN = MK : KP = MB : PB = MB : BN = MO : NO = OM : OP.  Следовательно,
OM = 2MP = 2(a + ^3a/₂) = 5a,  ON = ³/₂ OM = 7,5a.

  Площадь треугольника MON со сторонами 5a, 5a, 7,5a можно найти по формуле Герона:  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2220