Информация о задаче

Задача 54459

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна 6, сторона AC равна 5, а угол при вершине B равен 30^o. Найдите площадь треугольника, если расстояние от вершины A до прямой BC меньше, чем ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ .

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Обозначим AB = x. По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

AC² = AB² + BC² - 2AB^.BC cos 30^o,

или

25 = 36 + x² - 2^.6^.x^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , или x² - 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ x + 11 = 0.

Отсюда находим, что x₁ = 3 $\sqrt{3}$ - 4 или x₂ = 3 $\sqrt{3}$ + 4.

Найдем в каждом из этих случаев расстояние от вершины A до прямой BC:

d₁ = AB^.sin 30^o = $\displaystyle {\frac{x_{1}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3} - 4}{2}}$ , d₂ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3} + 4}{2}}$ .

Условию d < ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ удовлетворяет только x₁. Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 $\displaystyle \sqrt{3}$ - 4)6^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3(3\sqrt{3} - 4)}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3(3\sqrt{3} - 4)}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2223