Информация о задаче

Задача 54470

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Отношения площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольник MNKB так, что две его стороны MB и KB лежат на катетах, а вершина N — на гипотенузе AC. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу, чтобы площадь параллелограмма составляла 18% площади треугольника?

Подсказка

Обозначьте AN = x, CN = y и составьте уравнение относительно x и y.

Решение

Обозначим AN = x, CN = y. Тогда

MN = $\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{2}}}$ , KN = $\displaystyle {\frac{y}{\sqrt{2}}}$ , AB = CB = (x + y) $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

S_MNKB = MN^.NK = $\displaystyle {\frac{xy}{2}}$ , S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC = $\displaystyle {\frac{(x + y)^{2}}{4}}$ .

Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{xy}{2}}$ = 0, 18(x + y)² $\displaystyle \Rightarrow$ 9x² - 82xy + 9y² = 0.

Решая это уравнение относительно ${\frac{x}{y}}$ , находим, что

$\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ или $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = 9.

Ответ

${\frac{1}{9}}$ или 9.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2234