Информация о задаче

Задача 54473

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр трапеции, если BO = ${\frac{7}{8}}$ , OD = ${\frac{25}{8}}$ , $\angle$ ABD = 90^o.

Подсказка

Обозначьте BC = 7x, AD = 25x и рассмотрите прямоугольный треугольник ABD.

Решение

Из подобия треугольников BOC и DOA следует, что

$\displaystyle {\frac{BC}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BO}{OD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ .

Обозначим BC = 7x, AD = 25x. Пусть P — проекция вершины B на основание AD. Тогда AP = ${\frac{1}{2}}$ (AD - BC) = 9x.

Из прямоугольного треугольника ABD находим, что

AD^.DP = BD², или 25^.16x² = 16.

Значит, x = ${\frac{1}{5}}$ . Поэтому

BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ , AD = 5, BP = $\displaystyle \sqrt{AP\cdot PD}$ = 12x = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ ,

CD = AB = $\displaystyle \sqrt{BP^{2}+ AP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{81}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{5}}$ = 3.

Следовательно, периметр трапеции ABCD равен

$\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ + 5 + 6 = $\displaystyle {\textstyle\frac{62}{5}}$ .

Ответ

${\frac{62}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2237